Quiz Maths 27b4p relations d'quivalences

Question 1 / 16

On ne s'intressera ici qu'aux relations d'quivalences binaires ; c'est--dire, les relations qui mettent en parallle deux lments d'un ensemble. Dans la suite E dsignera un ensemble et R une relation d'quivalence sur E. Quelle est la proprit que ne respecte pas une telle relation R ? 2i1b3k

Rflexivit

Symtrie

Antisymtrie

Transitivit

Question 2 / 16

Soient x et y, deux lments de E. Notons C(x) la classe d'quivalence de x dfinie comme sur l'image. quoi la proprit "xRy" est-elle quivalente pour tout ensemble E et toute relation d'quivalence R ? r143l

C(x) = C(y)

C(x) et C(y) sont dists

X = y

Question 3 / 16

Par la question prcdente, on obtient qu'un ensemble est partitionn par une relation d'quivalence. Ainsi, comment pourrait-on dfinir moins formellement une relation d'quivalence ? 3nt5s

Distinguer des objets mathmatiques qui se ressemblent de prime abord, selon un mme critre R

Regrouper un ensemble d'objets mathmatiques pour n'utiliser qu'un seul reprsentant, selon un mme critre R

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Question 4 / 16

Les relations d'quivalences nous permettent de mettre de l'ordre dans les ensembles mathmatiques, de la mme manire que le fait de ranger correctement les informations dans son cerveau permet une plus grande efficacit. Il est d'usage de considrer l'ensemble E/R, E quotient par sa relation d'quivalence R. Soit x dans E/R, quel genre d'objet est x ? 625cz

Un lment de E

Un ensemble d'lments de E

Un ensemble d'ensembles d'lments de E

Question 5 / 16

partir de cette question, G dsignera un groupe dont la reprsentation se fera avec la notation multiplicative. Avant de dfinir une action de groupe, dfinissons l'application suivante : l'application externe qui va du produit GxE qui va dans E, qui au couple (g,x) associe le produit externe g.x. Que doit-on vrifier avant toutes choses ? 6o24

Que la relation induite par cette application sur E est bien d'quivalence

Que le produit externe donne bien un lment de E

Les deux dernires propositions sont toujours automatiques

Question 6 / 16

Une fois que l'on a pris la prcaution mentionne la question 5 (ou pas), laquelle de ces deux propositions permet d'obtenir la rflexivit et la symtrie de la relation engendre par l'application ? (On note e le neutre de G). a521x

Pour chaque x dans E, chaque g et h dans G, g.(h.x) = (g.h).x

Pour chaque x dans E, e.x = x

On a toujours une relation d'quivalence partir d'une translation droite sur un ensemble E

Question 7 / 16

Mme question, mais pour la transitivit ? 4q3p5x

Pour chaque x dans E, e.x = x

Pour chaque x dans E, chaque g et h dans G, g.(h.x) = (g.h).x

On a toujours une relation d'quivalence partir d'une translation droite sur un ensemble E

Question 8 / 16

Comment appelle-t-on l'ensemble dcrit par l'image ? 5g264v

L'orbite de x

Le stabilisateur de x

L'idal de G engendr par x

Le centre de G

Question 9 / 16

Et cet ensemble ? 3n45j

L'orbite de x sous G

Le stabilisateur de x sous G

L'idal de G engendr par x

Le centre de G

Question 10 / 16

Quel automorphisme dcoule implicitement de l'action de G sur E gauche ? 54b59

L'identit

Une transposition

Un cycle

Une permutation

Question 11 / 16

En faisant l'analogie avec la question 4, que dsigne donc l'ensemble quotient E/G ? 2g526j

L'ensemble des stabilisateurs des lments de E

L'ensemble des orbites de E sous G

Question 12 / 16

Soit l'exemple d'un morphisme de groupe f de G dans F. Notons e_F le neutre de F et Ker(f) = f^(-1)({e_F}) le noyau de f. Quel est l'intrt de l'opration G/Ker(f) dans le cas gnral ? 2k3i1

De ''rendre f injective''

De ''rendre f surjective''

De ''rendre f bijective''

Question 13 / 16

Avant d'en arriver l, il est d'usage de considrer ce qu'on appelle la surjection canonique p qui va de G dans G/Ker(f). Quel est "son travail" ? 312256

D'associer un lment de G son stabilisateur sous Ker(f)

D'associer un lment de G son orbite sous Ker(f)

D'associer un lment de l'ensemble des orbites de G sous Ker(f) un reprsentant de l'orbite choisie

D'associer un lment de l'ensemble des stabilisateurs de G sous Ker(f) un reprsentant du stabilisateur choisi

Question 14 / 16

Ainsi, la factorisation canonique se dfinit comme tel : il existe une et une seule application c(f) de G/Ker(f) dans Im(f) telle que f = c(f) o p (o est la composition et se lit "rond"). Que cela signifie-t-il moins formellement ? 73x11

Un morphisme de groupe est injectif un multiple du Ker prs

Un morphisme de groupe est surjectif un multiple du Ker prs

Un morphisme de groupe est bijectif un multiple du Ker prs

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Question 15 / 16

Comme cette proprit n'est valide que si l'on considre c(f) valeur dans Im(f), il est d'usage de considrer l'ensemble quotient F/Im(f). Comment appelle-t-on cet ensemble dans la littrature ? 4q1e35

Conoy(f)

Coim(f)

Coker(f)

Question 16 / 16

Pour finir ce quiz, parlons de rduction. En rduction, on manipule des classes de similitudes ou de conjugaison. Ces classes-l sont l'ensemble des orbites des matrices carres ou endomorphisme d'un espace vectoriel sous l'ensemble des matrices inversibles ou des automorphismes. Quelle est l'action de groupe qui permet cette tude ? L'application de GxE dans E, qui (g,x) associe ... 5u1j9

G.x

X.g

G^(-1).x.g

G.x.g

Quiz Maths : relations d'quivalences 6o366q